Банковское дело

Кредитор, давая деньги в долг, лишается возможности их использовать до момента их возврата. Заемщик должен за это заплатить. Плата за пользование кредитом выражается в форме процента. Процентом назы­вают доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами. Процент начисляется на основную сумму займа по опре­деленной процентной ставке с определенной периодичностью. Существуют различные способы начисления процента. Рассмотрим основные из них.

Простые проценты. Пусть имеется некоторая первоначальная сум­ма средств Р, вкладываемых в некоторое предприятие (банк, инвестици­онный проект), в результате чего по истечении определенного периода первоначальная сумма изменяется на величину iP (i — процентная став­ка, по которой приращиваются проценты к первоначальной сумме Р). Обозначим через и количество периодов, в течение которых наращива­ется первоначальная сумма до величины S (наращенная сумма), тогда за и периодов первоначальная сумма Р возрастает на величину iPn и наращенная сумма будет:

S = P + iPn = P(l + in).

Множитель (1 + in) называется множителем наращения по простым процентам. В рассмотренном случае наращенная сумма S определялась через первоначальную сумму Р; процентную ставку i принято называть декурсивной ставкой.

Можно изменить задачу и попытаться определить первоначальную сумму Р через наращенную S путем ее дисконтирования по процентной ставке d, называемой антисипативной. Тогда

P = S—ndS = S(1-nd).

Множитель 1/(1-nd) является множителем наращения.

Простые процентные ставки чаще всего используются в расчетах на короткие периоды (меньше года). В связи с этим следует отметить особенность практики использования декурсивных и антисипативных ставок при п меньше года. В случае декурсивной ставки i принимается n=t/365 или n=t/366 (t— количество дней начисления). Если же исполь­зуется антисипативная ставка d, то берется n=t/360.

Сложные проценты. Рассмотрим более сложный случай с учетом ка­питализации процентов. Тогда имеем наращиваемую сумму Р перемен­ной в зависимости от временного периода, так что за i-й период Р уве­личивается на дельтаРj:

Тогда наращенная сумма

В квадратных скобках имеем сумму геометрической прогрессии, в соответствии с этим получаем:

Множителем наращения является величина (1 + i)ⁿ. Аналогично можем получить выражение для сложной антисипативной ставки:

P = S(l—d)ⁿ.

В этом случае множителем наращения выступает  1/(1+d)ⁿ

Если п представляет собой нецелое число, например п = к + t (k—количество целых лет, t — количество дней), то для вычисления нара­щенной суммы S используется выражение

в котором наращение за целые годы определяется по сложным процен­там, а за дни — по простым.

Наращенная величина S является суммой, которая будет получена в будущем, а Р — ее современной величиной. По-другому зависимость

трактуется как приведение величины суммы S, получаемой

в будущем, к современному периоду.

Если количество лет (n) будет достаточно большим, то современная величина любой суммы, вычисленная как по простым, так и по слож­ным процентам, будет стремиться к нулю:

Это означает, что получение любой, даже достаточно большой сум­мы через много лет в настоящий момент имеет нулевой эффект. Эффект от суммы в будущем уменьшается быстрее, если расчеты ведутся по слож­ным процентам.

Реальные, номинальные и эффективные ставки процентов. Начис­ление процентов может производиться с произвольным интервалом. Чаще всего проценты начисляются один раз в год, раз в полгода, раз в квартал, в месяц. Рассмотрим случай, когда проценты начисляются т раз в год (т > 1). За каждый временной период (полгода, квартал, ме­сяц) начисляются j процентов. Процентную ставку, по которой проис­ходит начисление процентов за произвольный период, будем называть реальной процентной ставкой. В нашем случае j- реальная процентная ставка.

При сопоставлении различных инвестиционных проектов возника­ет потребность сравнить их доходность, но для такого сравнения преж­де необходимо доходности (процентные ставки) привести к одному вре­менному периоду. Чаще всего производится приведение процентных ставок к году. При этом могут использоваться различные схемы начис­ления процентов. Годовая процентная ставка, вычисленная по схеме простых процентов, называется номинальной процентной ставкой. Го­довая процентная ставка, вычисленная по схеме сложных процентов, называется эффективной процентной ставкой.

Обозначим iн и iэ — номинальную и эффективную процентные став­ки соответственно. За т временных периодов получим наращенную сум­му (по схеме простых процентов)

S₁ = P(1 + m* j).

По номинальной процентной ставке наращенная сумма:

S₂ =(1+ iн)

Из равенства S1 и S₂ получим i_н = mj. По схеме сложных процентов за т временных периодов наращенная сумма

По эффективной процентной ставке наращенная сумма за год

S₂=P(1 + i_э).

Из равенства S1 = S₂ получим:

Учитывая, что i_и = mj, можно найти связь между номинальной и эф­фективной процентными ставками:

Денежный поток, внутренняя норма доходности. Денежные выпла­ты, порождаемые какой-либо ценной бумагой, происходят в разное время. Например, купонная облигация в течение всего срока существо­вания порождает ряд разновременных купонных выплат и выплату но­минала при погашении. По акции выплачиваются дивиденды в течение всего срока ее нахождения у инвестора.

Денежные выплаты, поступающие в разное время в течение некото­рого периода, называются денежным потоком. При приведении буду­щих денежных поступлений к текущему моменту времени их нужно дис­контировать с учетом длины временного периода, через который будет произведен платеж. Предположения, что в конце первого временного периода поступит сумма, равная 5,, в конце второго периода — S₂, в конце n-го периода — S_n, тогда текущая стоимость такого денежного потока будет

где i — доходность альтернативного вложения (банковская депозитная ставка).

Можно рассмотреть задачу иначе. Предположим, что текущая сто­имость денежного потока Р, порождаемого какой-либо ценной бума­гой, равна ее рыночной стоимости С, тогда можно определить величи­ну процентной ставки г, при которой Р = С из уравнения

Процентная ставка r, вычисленная при условии равенства текущей стоимости денежного потока его рыночной стоимости, называется внут­ренней нормой доходности.

Важным и широко используемым при определении стоимости и до­ходности ценных бумаг является понятие ренты. Под рентой понима­ется ряд последовательных платежей через равные промежутки време­ни. В практике финансовых расчетов используется множество различных видов рент. Здесь будут рассмотрены только ренты, использующиеся при оценке стоимости и доходности ценных бумаг:

• постоянная ограниченная рента;
• постоянная вечная рента;
• переменная рента с постоянным приростом платежей. Постоянная ограниченная рента. Предположим, что в какое-либо мероприятие помещена некоторая сумма, дающая ежегодный доход R в течение п лет (п < бесконечности). Первая выплата производится через год, величи­на ее равна R, с приведением к настоящему моменту — R/(1 + i). Совре­менная величина следующей выплаты — R{1 + i)² и т.д. За п лет совре­менная величина ренты

Величина

называется коэффициентом приведения ренты.

Определим наращенную сумму ренты:

Величина

называется множителем наращения ренты.

Если начисление процентов производится т раз в год по годовой номинальной ставке i, то количество периодов начисления равно т*п и

Постоянная вечная рента. Этот вид ренты отличается от предыду­щего тем, что постоянные выплаты R производятся вечно, т.е. п = бесконечности, Чтобы определить современную величину такой ренты, нужно взять предел:

Если же начисление процентов производится т раз в году, то

Переменная рента с постоянным приростом платежей. Для этого типа ренты имеем изменяющуюся величину рентных платежей за п лет:

R, R+E,…, R + E(n—l),

где Е — постоянный ежегодный прирост платежей. Современная величина такой ренты

Если рассмотреть этот тип ренты в вечном варианте, то

т.е. вечная переменная рента отличается от вечной постоянной на сла­гаемое Е/i².

Наращенная величина переменной ренты

Метка: Основы рынка ценных бумаг